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数学必修一典型例题分析之数列

作者:李老师来源:未知2020-07-13点击:

  对于即将升入高中的同学来说,高中数学是一个让人比较头疼的科目,下面是浙江高复网李老师为大家整理的高中数学必修一数列经典例题及解析,希望能对大家有所帮助。
  高中数学必修一数列经典例题
  【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数?
  解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a1=7,d=7,an=98.
  代入an=a1+(n-1)d中,有
  98=7+(n-1)·7
  解得n=14
  答 100以内有14个能被7整除的自然数。
  【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,b使这五个数成等差数列,求此数列。
  解 设这五个数组成的等差数列为{an}
  由已知:a1=-1,a5=7
  ∴7=-1+(5-1)d 解出d=2
  所求数列为:-1,1,3,5,7.
  插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项。
  【例3】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?
  解 设an=3n,bm=4m-3,n,m∈N
  得n=4k-1(k∈N),得{an},{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn=12n-3(n∈N)。
  则在[1000,2000]内{cn}的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3
  ∴n=166-84+1=83 ∴共有83个数。
  高中数学必修一数列经典例题
  【例4】 三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数。
  解 设三个数分别为x-d,x,x+d.
  解得x=5,d=±2
  ∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
  说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法。
  【例5】 已知a、b、c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列。
  证 ∵a、b、c成等差数列
  ∴2b=a+c
  ∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c
  =a+(a+c)+c
  =2(a+c)
  ∴b+c、c+a、a+b成等差数列。
  说明 如果a、b、c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a、b、c成等差数列,常改证2b=a+c.本例的意图即在让读者体会这一点。
  可能是等差数列。
  分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法。
  证 假设a、b、c是等差数列,则2b=a+c
  ∴2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac.
  又∵ a、b、c不为0,
  ∴ a、b、c为等比数列,
  又∴ a、b、c为等差数列,
  ∴ a、b、c为常数列,与a=?b矛盾,
  ∴ 假设是错误的。
  ∴ a、b、c不可能成等差数列。
  高中数学必修一数列经典例题
  【例6】 解答下列各题:
  (1)已知等差数列{an},an=?0,公差d=?0,求证:
  ①对任意k∈N,关于x的方程
  akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;
  分析与解答
  (1)akx2+2ak+1x+ak+2=0
  ∵{an}为等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2
  ∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0
  ∴(akx+ak+2)(x+1)=0,ak=?0
  ∵{an}为等差数列,d为不等于零的常数
  (2)由条件得 2b=a+c
  ∴4RsinB=2RsinA+2RsinC,2sinB=sinA+sinC
  分析至此,变形目标需明确,即要证
  由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有
  【例7】 若正数a1,a2,a3,…an+1成等差数列,求证:
  证明 设该数列的公差为d,则
  a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d
  ∴a1-an+1=-nd
  ∴ 原等式成立。
  高中数学必修一数列经典例题
  【例8】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.
  [ ]
  A.是等比数列
  B.当p=?0时是等比数列
  C.当p=?0,p=?1时是等比数列
  D.不是等比数列
  分析 由Sn=pn(n∈N*),有a1=S1=p,并且当n≥2时,
  an=Sn-Sn-1=pnpn-1=(p-1)pn-1
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